Gusci sottili:

un approccio computazionale all’ottimizzazione strutturale

Il caso del Kresge auditorium del MIT

di

Enzo Marino

Relatori: Prof. Ing. Claudio Borri, Prof. Ing. Maurizio Orlando, Ing. Luca Salvatori

Anno Accademico: 2005-2006

INTRODUZIONE

Il tema di questa tesi è l’ottimizzazione di strutture a guscio. In particolare si mettono in evidenza alcuni limiti dei metodi tradizionali di ricerca della forma e si propone un approccio numerico di portata ben più generale. Ad ogni modo, l’idea di fondo rimane quella di interpretare la forma come conseguenza della statica attesa.

Verso la metà del Novecento si assiste ad una profonda evoluzione della geometria delle strutture a guscio che vanno costruendosi, la tendenza ad abbandonare geometrie analiticamente note (cilindri, cupole sferiche, etc), vedi Figura 1, per avvicinarsi a forme libere, la cui risposta statica fosse quella richiesta, diventa sempre più evidente. Il metodo qui discusso rappresenta uno strumento efficiente di ricerca della forma e mira al superamento di alcuni limiti dei metodi tradizionali, collocandosi, così, in uno scenario molto più ampio in termini di potenzialità e sviluppo. Come esempio applicativo si sceglie il Kresge auditorium del MIT a Boston, sovente citato come emblema di una categoria di strutture la cui forma non è quella ottimale. Viene, quindi, descritto un codice di ottimizzazione numerica sviluppato in ambiente Matlab che porta alla designazione di una struttura ottimizzata, di cui si discutono le principali caratteristiche a confronto con quelle della struttura attuale.

L’ultima parte della tesi è dedicata ad alcuni elementi di progettazione strutturale, di cui in questa sintesi si fa solo un cenno, dove si conduce un dimensionamento degli archi di bordo e del guscio, sia nella configurazione attuale che in quella ottimizzata designata. Questa parte progettuale è intesa come un momento di verifica nel quale si coglie il miglioramento in termini di sollecitazioni della struttura ottimizzata.

MECCANICA DEI GUSCI

Un guscio è una struttura bidimensionale, cioè con una dimensione, lo spessore, molto inferiore rispetto sia alle dimensioni planimetriche che ai raggi di curvatura. Il parametro più importante che caratterizza l'evoluzione dei gusci è proprio il rapporto tra lo spessore e il raggio medio di curvatura. Basti pensare che questo rapporto per il Pantheon a Roma vale 1:18, nei gusci moderni arriva fin'oltre 1:1000. Si veda la Figura 2.

Un guscio sottile affida quasi unicamente la sua resistenza alla rigidezza per forma, grazie alla quale è possibile coprire grandi luci senza ricorrere a supporti intermedi. Lo stato di sollecitazione di un guscio è prevalentemente nel piano, detto anche membranale. Le azioni membranali, quindi, sono unicamente quelle di trazione, compressione e scorrimento. Lo stato di sollecitazione membranale garantisce che tutte le fibre materiali che formano la sezione partecipino equamente alla resistenza e al trasferimento delle tensioni. Questo modo di lavorare delle fibre è notoriamente più efficiente di una distribuzione di sollecitazioni flessionali, le quali inducono una distribuzione di tensioni normali variabile lungo la sezione facendo lavorare al massimo le fibre più esterne e al minimo quelle prossime all'asse neutro: nello spirito del minimo strutturale e della resistenza per forma, ciò è quanto si vuole evitare. Nel caso dei gusci sottili il comportamento membranale è sempre predominante rispetto a quello flessionale, anche se si verificano variazioni di condizioni di carico.

Si può asserire che per un guscio ben progettato che non presenti repentini cambi di curvatura e che abbia condizioni di vincolo compatibili, una condizione di carico non uniforme, e.g. antimetrica, purché non vari bruscamente da punto a punto, non induce mai uno stato flessionale dominante. I gusci con doppia curvatura, in particolare doppia curvatura positiva, sono più naturalmente predisposti ad assumere tale comportamento. [1].

Stabilità

La crescente esigenza di coprire luci sempre maggiori con strutture sempre più leggere porta ad una profonda evoluzione dei gusci, così, accanto al problema della ricerca della forma, si sviluppa il tema della stabilità. Una formula approssimata per il calcolo del carico critico di un duomo sferico soggetto ad una pressione p è la

seguente

 

 

con Ec il modulo di elasticità normale.

Un sistema efficace per aumentare le risorse strutturali contro l’instabilità è quello di addensare la massa strutturale lungo delle curve sulla superficie del guscio, magari ricorrendo alla precompressione, in modo da formare delle vere e proprie costole di irrigidimento. Ciò permette di incrementare notevolmente il rapporto spessore-raggio di curvatura, senza peraltro turbare la geometria globale della struttura. Questo metodo è particolarmente evidente nella struttura del CNIT a Parigi. Vedi Figura 3.

Nel progetto del CNIT la geometria globale ha un rapporto di s/R = 1:1750, ma l'effetto delle nervature lo riduce a un valore effettivo di circa s/R = 1:200. Un approccio differente consiste nel ridurre i raggi di curvatura localmente: ai bordi, per esempio. Questo metodo è spesso ricorrente nelle strutture di H. Isler, E. Torroja e altri. Un esempio ne è il mercato di Algeciras, Andalusia, Spagna del 1934 di Figura 4.

LA RICERCA DELLA FORMA

Obiettivi della ricerca della forma

Ottimizzare una struttura a guscio implica principalmente due cose:

§ ricerca della forma

§ distribuzione ottimale dello spessore

Gli obiettivi dell'ottimizzazione possono essere:

·         Ottenere un comportamento sufficientemente membranale.

·         Poter considerare tutte le possibili condizioni al contorno e di carico.

·         Far lavorare i materiali secondo la loro naturale attitudine, ad esempio annullare le trazioni nelle fibre di calcestruzzo.

·         Imporre limiti massimi alle tensioni e agli spostamenti.

·         Evitare la formazione di fessure.

·         Evitare fenomeni di instabilità.

·         Avere la possibilità di privilegiare alcuni aspetti rispetto ad altri, oppure valutare soluzioni di compromesso.

I metodi che permettono di raggiungere uno o più degli obiettivi citati sono due:

·         Inversione della membrana appesa

-    Metodi sperimentali

-    Metodi numerici

·         Ottimizzazione strutturale (ricerca di minimo)

Il modello dell'inversione della membrana tesa

E' un metodo di ricerca della forma che ha origini molto lontane nella storia grazie al suo carattere intuitivo e di facile comprovazione sperimentale. Si pensi alle intuizioni di Poleni e alla opere di Gaudì, ad esempio.

Si tratta di portare in uno stato di pura trazione una superficie elastica cha non abbia alcuna rigidezza flessionale. Raggiunta la configurazione funicolare del carico si inverte la superficie nella quale, ora, vige la sola compressione. Tale modello è stato fortemente adottato nella seconda metà del Novecento, e ha trovato la perfezione ad opera di Heinz Isler.

 

 

 

I gusci di Isler non solo rappresentano dei capolavori di architettura strutturale, essi sono anche la prova dell'efficienza e dell’affidabilità che il metodo dell'inversione della membrana può raggiungere. In Figura 5 e Figura 6 si osservano rispettivamente modelli sperimentali e numerici di membrana appesa e capovolta.

Alcuni esempi emblematici dell'applicazione del metodo sperimentale da parte di Heinz Isler sono riportati nelle Figura 7 e Figura 8.

L'approccio sperimentale, seppur consolidato dagli eccellenti risultati, presenta alcuni limiti e svantaggi:

- E' quasi impossibile includere nel modello sperimentale un variazione di spessore.

- Quando si inverte il modello è possibile che alcune zone compresse si instabilizzino.

Non è possibile considerare più condizioni di carico se non quella del peso proprio.

- I dati relativi alle deformazioni e al carico critico non sono immediatamente rilevabili dal modello sperimentale.

L'evoluzione naturale del metodo sperimentale dell'inversione della membrana tesa è la simulazione agli elementi finiti. Senza entrare nel dettaglio, si osserva solo che questo metodo non aggiunge nulla di nuovo da un punto di vista concettuale rispetto ai metodi sperimentali. Un interessante esempio si trova in [11].

OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE: RICERCA DI MINIMO

Questa procedura, sviluppata nell'ultimo decennio e tuttora al centro del dibattito, si pone come efficace soluzione ai limiti del metodo della membrana rovesciata. Di fatto si basa su un problema di ricerca di minimo e dunque necessita di quattro elementi essenziali:

·         Obiettivi: f

·         Variabili: p

·         Vincoli: g

·         Limiti delle variabili.

Si possono avere una o più funzioni obiettivo, ciascuna delle quali rappresentativa di un aspetto che si vuole scongiurare. Le variabili del problema possono essere tutte quelle dalle quali dipende la forma della struttura e la distribuzione dello spessore. Le funzioni obiettivo prescelte vengono espresse in funzione delle variabili designate. I vincoli sono funzioni, anche non lineari, espresse nelle medesime variabili delle funzioni obiettivo: possono essere uguaglianze o disuguaglianze. Infine si definiscono i domini delle variabili designate. Ulteriori dettagli si trovano in [4], [5], [6], [10].

L'ottimizzazione strutturale così impostata si presenta come un mezzo estremamente potente che assicura indiscussi vantaggi rispetto al metodo dell'inversione della membrana, fra cui:

·         Possibilità di scegliere l'obiettivo, le variabili e i vincoli che si desiderano: la progettazione diventa molto più libera.

·         Possibilità di ottimizzare la forma rispetto a diverse condizioni di carico.

·         Possibilità di un'ottimizzazione multi-obiettivo e gestione dei conflitti con fattori di importanza.

Ad ogni modo, questa potente procedura è caratterizzata da aspetti, peraltro intrinseci, che possono essere definiti svantaggi:

·         Utilizzo di algoritmi di minimizzazione che non sempre possono essere facilmente controllati.

·         Se le funzioni obiettivo non sono abbastanza regolari, c'è il rischio dell'individuazione di minimi relativi.

·         Talvolta un certo grado di astrazione non garantisce un immediato riscontro fisico sulla configurazione finale.

Impostazione del problema

L’impostazione di un problema generico di ottimizzazione può essere posto come segue:

 

 

dove

 

·          è la funzione obiettivo di cui si cerca il minimo.

·          è l’i-esima funzione che esprime un vincolo. Per vincolo s’intende una condizione che deve essere soddisfatta durante la ricerca di minimo. In genere si tratta di imposizioni sugli spostamenti o stati tensionali in uno o più punti della struttura.

·         è il vettore che raccoglie le variabili del problema.

·          e sono rispettivamente l’estremo inferiore e superiore del dominio di definizione della funzione obiettivo.

 

Nel presente studio si affronta un problema non vincolato.

IL CASO DI STUDIO: il Kresge auditorium

L'auditorium è un guscio in cemento armato progettato da Eero Saarinen nel 1954. Gli ingegneri furono Amman e Whitney.

Il guscio è una porzione di sfera (1/8) irrigidita ai bordi da tre grandi archi. La struttura è incernierata in tre punti di base, vertici di un triangolo equilatero di lato L. La massima altezza degli archi è circa 8m, la massima altezza della calotta è 14,5m circa. La porzione di sfera è ottenuta dal taglio di quattro piani tre dei quali disposti in modo tale che le rispettive tracce, ottenute per intersezione con il quarto piano orizzontale, formino il triangolo equilatero di base. Vedi Figura 10. Dunque il piano di taglio orizzontale coincide con il piano del terreno. I tre piani di taglio, passanti per l'origine della sfera di raggio R, sono inclinati rispetto al piano orizzontale di un angolo β = 54.72°. Cosicché, l'intera geometria dell'auditorium è completamente definita a partire da

·         R = 34,29m

·         L = 48,5m

La procedura di ottimizzazione ha come vincolo geometrico le dimensioni del triangolo di base.

 

Definizione delle funzioni obiettivo

Allo scopo di ridurre la flessione e incrementare la rigidezza per forma, si sono definite le seguenti funzioni obiettivo:

·         Energia di deformazione: ;

·         Energia di deformazione specifica:;

·         Integrale esteso alla superficie del guscio dei momenti flettenti: ;

·         Eccentricità massima della superficie delle pressioni: .

 

Allo scopo di incrementare il carco critico di instabilità si è scelta la funzione

·         Inverso del moltiplicatore critico:

Individuazione delle variabili

Le prime due variabili geometriche sono il raggio R della sfera e l’angolo di inclinazione β dei piani di taglio. In Figura 11 si osserva l’effetto sulla geometria della variazione delle due variabili. La variazione di β induce un cambiamento della geometria in pianta, mentre la variazione del raggio il raggio comporta sia una variazione planimetrica che un diverso grado di “ribassamento” del guscio.

Per potenziare le prestazioni del guscio, verso un comportamento membranale, è necessario che i bordi vengano modellati con contro-curvature in modo da minimizzare la componente flettente della sollecitazione e poter fare a meno delle pesanti travi di irrigidimento. Si definiscono dunque parametri di forma le variabili necessarie a governare con sufficiente libertà la variazione, e.g. inversione, di curvatura del guscio.

Superficie attuale:     (1)

Superficie variabile:      (2)

dove

-    Per , cioè lungo i meridiani  passanti per gli appoggi, la curvatura rimane sferica per ogni q, sezione a-a di Figura 12;

-    Per , cioè lungo i meridiani passanti per la mezzeria dei lati, l'effetto sulla forma ha massima intensità, sezione b-b di Figura 12. Un esempio dell’andamento del profilo è riportato in Figura 13.

-     è il raggio cilindrico con origine nel centro della struttura.

Uno degli aspetti cruciali della geometria è la distribuzione dello spessore. Lo spessore dello stato attuale subisce sensibili incrementi ai bordi e soprattutto agli appoggi. Nel vertice è di 9cm, ai bordi diventa circa 13cm e a gli appoggi arriva fino a circa 54 cm. Ciò accade perché la meccanica di questa struttura ha intrinsecamente definita una resistenza per forma, rispettando così le leggi di un guscio sottile (zone centrali della struttura) e una resistenza e rigidezza flessionale, cioè affidata allo spessore, che è indispensabile nelle zone di vincolo. Si è individuata, così, una famiglia di curve di variazione di spessore tali da coprire un'ampia gamma di distribuzioni, compresa naturalmente quella attuale:

     (3)

 

dove

-     è il raggio cilindrico che misura la distanza in pianta rispetto all'origine;

-    è il multimplo−1 dello spessore in chiave che si vuole all'appoggio;

-    opera come il parametro di curvatura, e regola la distribuzione dello spessore da quello iniziale (in chiave) a quello finale (agli appoggi).

 

Nella seguente tabella si riportano in sintesi tutte le possibili variabili con i rispettivi valori attuali:

 

Possibili variabili

Valori attuali

Raggio sfera

R

34.29  [m]

Inclinazione piani

β

54.725°

Spessore al vertice

sp0

9  [cm]

Parametri di distribuzione dello spessore

αsp

5

ksp

7

Parametri di forma

q

0

kq

-

Sezioni archi di bordo

h0

50  [cm]

hr

90  [cm]

Tabella 1: Possibili variabili e rispettivi valori attuali.


 

INDAGINI PRELIMINARI

Prima di completare il codice di ottimizzazione si sono condotte delle indagini parziali finalizzate alla conoscenza della struttura, alla valutazione della sensibilità rispetto ad alcune variabili anziché altre, alla scelta della migliore funzione obiettivo, etc. Tali valutazioni preliminari ci permettono anche di fare delle previsioni qualitative sulla posizione del minimo delle funzioni obiettivo; dunque si cerca di capire se la scelta degli algoritmi di minimizzazione e l'impostazione del problema numerico non siano affetti da errori grossolani che porterebbero a risultati fisicamente scorretti.

Per ragioni di sintesi si riporta solo un esempio.

Influenza del raggio e dell’inclinazione dei piani di taglio sull’energia totale di deformazione

Si osserva in Figura 16 come il raggio tende al valore massimo e l’inclinazione dei piani tende al minimo. E’ altresì evidente che purché R sia grande, l’inclinazione β non è particolarmente influente sulla rigidezza globale della struttura.

 

Influenza dei parametri di forma sull’energia di deformazione

Prima di modellare la curvatura per mezzo della eq. (2), che si è rivelata la più adatta, sono state sviluppate alcune soluzioni per il controllo delle superfici. La Figura 18 ne rappresenta un esempio nel quale si ha una riduzione dell’energia di deformazione  rispetto alla struttura attuale.

 

 

Benché il carattere di questa configurazione appaia ardito, si osservi che siamo ancora in una fase conoscitiva del legame forma-statica e, tuttavia, soluzioni di inversione di curvatura ai bordi, associata all’innalzamento di quota dei bordi medesimi, sono gia bagaglio culturale di alcuni grandi costruttori. In Figura 19, infatti, si rammentano due casi esemplari: Sicli Company Building di H. Isler, 1970 e l’Oceanogràfic di Domingo e Làzaro a Valencia.


 

PROCEDURA DI OTTIMIZZAZIONE

Struttura ottimizzata

Riduzione dell’energia di deformazione:

 

Casella di testo: Parametri	Valori attuali	Lim. Inf.	Lim. Sup.	Valori ottimizzati
R	34.29 m	32 m	40 m	34.06 m
β	54.725°	50°	65°	54.839°
sp0	9 cm	6 cm	12 cm	8.6 cm
αsp	5	2	7	6.92
ksp	7	1	12	4.67
q	0	0	10	7.85 m
kq	-	2	4	2.59

Tabella 2: Parametri della struttura attuale e ottimizzata.

 

Benché l’eccentricità massima della superficie delle pressioni si sia rivelata poco affidabile come funzione obiettivo, senz’altro a causa del suo carattere puntuale, la rappresentazione grafica della superficie delle pressioni, sovrapposta alla superficie media del guscio, è stata particolarmente utile per cogliere l’evoluzione della comportamento strutturale durate tutta la procedura. Nella Figura 21 si confrontano la configurazione iniziale e quella finale e si osserva l’evidente riduzione dell’eccentricità della superficie delle pressioni sia lungo i bordi che nelle zone di vincolo.

Analiticamente la superficie delle pressione si è calcolata dal rapporto fra una norma del tensore dei momenti flettenti (in ciascun nodo) e una norma del tensore degli sforzi di membrana.

 

 

 

 

 

 

 

con

 

 

 

 

 

 

Confronto della geometria attuale con quella ottimizzata

In Figura 22 si osserva che per come è stata modellata la superficie, vedi eq. (2), gli effetti della variazione della geometria si concentrano nei bordi, i quali, al centro dell’arco, passano da una quota di 8,20m a 16.15m circa dal piano di appoggio. Il raggio della sfera non subisce sensibili variazioni rispetto alla struttura attuale. Per il confronto completo delle variabili si veda la Tabella 2.

La distribuzione dello spessore non subisce particolari variazioni rispetto alla configurazione attuale.

 

Confronto della distribuzione di energia di deformazione della struttura attuale con quella ottimizzata

L’energia di deformazione subisce una notevole riduzione non solo quantitativamente, ma anche in termini di distribuzione. Basta osservare che i bordi, e soprattutto le zone di vincolo, risultano sensibilmente meno penalizzate. La massima energia di deformazione passa da 3kJ/m2 a 0.9kJ/m2. L’energia minima passa da 0.5kJ/m2 a 0.1kJ/m2. Si veda la Figura 23.

 

Confronto degli spostamenti verticali

L’aumento di rigidezza nella struttura ottimizzata si coglie confrontando le mappe degli spostamenti verticali. L’abbassamento massimo passa da 8cm a 1.4cm circa; l’innalzamento massimo passa da 2cm a 2mm circa. Si veda la Figura 24.

 

La struttura attuale qui confrontata è priva degli archi di irrigidimento, dunque il confronto serve a mettere in evidenza il contributo alla rigidezza offerto solo dall’inversione della curvatura delle zone di bordo. Considerando gli archi di irrigidimento, gli spostamenti verticali delle due configurazioni diventano simili.

Confronto della distribuzione delle tensioni

Nella struttura ottimizzata si riducono drasticamente le zone soggette a parzializzazione della sezione e comunque si registrano tensioni massime di trazione sempre inferiori a 3-4N/mm2. La struttura attuale, che dispone degli archi di irrigidimento con sezione variabile da 25x50cm fino a 25x90cm agli appoggi, necessita, oltre che di un’armatura diffusa in rete elettrosaldata Ø 8/25cm, di un’armatura aggiuntiva come quella schematizzata in Figura 26.

CONCLUSIONI

I risultati ottenuti per il Kresge auditorium confermano le potenzialità, l’efficienza e le aspettative del metodo proposto. Agendo sulla forma e sullo spessore, si è riusciti a compensare l’assenza dell’irrigidimento degli archi di bordo e ottenere un comportamento prevalentemente membranale. In questa occasione si è lavorato principalmente su singole funzioni obiettivo e l’ottimizzazione è stata effettuata sotto azioni uniformi, ma in un’ottica più generale si può concludere con una sintesi sulle prerogative e le prospettive di sviluppo del metodo descritto:

·         Libertà di scelta degli obiettivi;

·         Ottimizzazioni multi-obiettivo;

·         Libertà di scelta delle variabili.

Le fasi di sviluppo e applicazione hanno tuttavia messo in luce alcuni aspetti delicati:

·         Non completo controllo degli algoritmi di minimizzazione;

·         Funzioni obiettivo non sempre efficaci;

·         Metodi per la parametrizzazione delle superfici ad hoc.

Sulla base delle potenzialità del metodo e dai limiti incontrati nascono alcune prospettive di sviluppo:

·         Efficienza degli algoritmi di minimizzazione;

·         Parametrizzazione delle superfici con applicabilità generale;

·         Ottimizzazione con carichi asimmetrici;

·         Combinazione con altri tipi di ottimizzazione: topologia della massa, etc.

·         Sviluppo in altri campi dell’ingegneria strutturale: prefabbricazione, etc.

Come primo passo verso la generalizzazione, si è applicata la procedura ad un guscio appoggiato su quattro punti: un paraboloide ellittico. La superficie è stata parametrizzata con una funzione simile alla eq. (2) e anche in questo caso si è minimizzata l’energia di deformazione. Il risultato è riportato in Figura 27.

Il caso del paraboloide ellittico nasce solo come esempio di estensione del metodo ad altre geometrie; il risultato non è da intendersi definitivo in quanto non sono stati considerati alcuni aspetti importanti come la distribuzione dello spessore.

 

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